群とか環とか体とか、大学で教えてもらった記憶がうっすらありますが、何回見ても忘れます。幸いにもWikipedia先生に割と詳しく解説されているので、まとめておこうと思います。
集合Gと二項演算uの組(G, u)を考えます。uは乗法や加法と呼ばれる場合があるようです。以降u(a, b) をa + bの形で表します。
下にある群は、上の群の性質をすべて満たします(以降も特に断りがなければ同じ)。なので、モノイドは半群の性質を満たしますし、群はモノイドと半群の性質を満たします。
集合Rと2つの二項演算u, tの組(R, u, t) を考えます。(R, u) はアーベル群です。uは加法、tは乗法と呼ばれるようです。以降t(a, b) をa * bの形で表します。
群と違って、環はモノイド(単位元が存在する)である必要はないみたいです。
可換環では零でない零因子という困ったことが起きます。
困る例として挙げられていたのはa * b = 0かつa != 0でもb = 0とは限らない、もしくは、a * b = a * cかつa != 0でも、b = cとは限らない、という例でした。
具体的な例が載ってませんでしたが、行列の和と積を考えると発生しそうに思えます。
A = [1, 1] [0, 0] B = [ 1, 0] [-1, 0] C = [0, -1] [0, 1] A * B = [0, 0] [0, 0] A * C = [0, 0] [0, 0] A != 0だがB, Cは零行列ではない。A * B = A * Cだが、B = Cでもない。
環はこういうパターンが無数に出てきて、さらに条件を厳しくしないと困る場合がありますよ、ということですかね?
変わった名前ですが、環の一種のようです。環で発生する零因子による困った問題を排除しています。
群環体の「体」まで辿り着きたかったのですが、整閉整域、一意分解整域、主イデアル整域、ユークリッド整域、体、有限体、と訳のわからない名前のオンパレードで、力尽きました。また今度調べます。
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