コグノスケ

2048の最高得点（その1）

2048の最高得点について考えてみます。

仮定: 新しい数字が常に理想的に出現した場合、4x4のフィールドは、横1列の16マスと同等とみなせる、とします。

この仮定が正しいかどうかがイマイチ分かりませんが…考えるのは後回しにします。この仮定が正しいとして、

• 必ず左端に新しい数字が出現
• 常に右に移動

という動きを考えます。

2だけ出てくる場合

新しい数字としては2か4が出ますが、まずは単純にするため2が出続けた場合を考えます。2が出続けた場合の手詰まりの形は、
2, 4, 8, 16, ..., 65536
つまり、
2, 4, ..., 2^(N-1), 2^N
です。

手詰まりになるまで4がいくつ必要か（＝4が何回生成されるか、と同意）を考えますと、

マス数: 手詰まり形: 各マスの数字を作るのに必要な4の数
2マス: 2, 4        → 0, 1
3マス: 2, 4, 8     → 0, 1, 2
4マス: 2, 4, 8, 16 → 0, 1, 2, 4
となります。

Nマスにおいて、手詰まりまでに生成された4の数S(N, 4) は、初項1、公比2、項数N-1の等比数列の和と等しいですから、
S(N, 4) = 2^(N-1) - 1
よって得られる点数は、
4 * S(N, 4)
です。

次に8が何回生成されるか？を考えますと、

マス数: 手詰まり形: 各マスの数字を作るのに必要な8の数
4マス: 2, 4, 8, 16 → 0, 0, 1, 2
となります。

生成される新しい数字が倍になり（つまり4が出てくると考える）、マスは1つ減った、と考えるとわかりやすいですかね？
S(N, 8) = S(N - 1, 4)
なので得られる点数は、
8 * S(N - 1, 4)
です。

さらに一般化するとNマスで手詰まりしたとき、それぞれのマスに存在する数は、
2, 4, 8, 16, ..., 2^N
となります。

一般項をAnとおくと、
An = 2^n (ただしn = 1, 2, ..., N)
です。

各数値が何回生成されるかを4を基準に考えると、
S(N + 1, 4), S(N, 4), S(N - 1, 4), ..., S(2, 4)
と表せます。

一般項をSnとおくと、
Sn = S(N + 2 - n, 4) = 2 ^ (N + 2 - n - 1) - 1 = 2 ^ (N - n + 1) - 1
(ただしn = 1, 2, ..., N)
と表せます。

各数値を生成する際に得られる点数は、AnとSnの積を合計した値になります。
0 * S(N + 1, 4), 4 * S(N, 4), 8 * S(N - 1, 8), ..., 2^N * S(2, 4)
しかし2048のルールでは2の生成時に点数は入りませんので、初項A1 * S1を除く必要があります。

記号を使って少しかっこよく書けば、
N
Σ(Ak * Sk) - A1 * S1
k=1
となり、このとき、
Ak * Sk = 2^k * (2^(N - k + 1) - 1) = 2^(N + 1) - 2^k
A1 * S1 = 2^(N + 1) - 2
です、かね。たぶん。

先ほどの最高得点の式、試しにN = 16で計算してみると1835012点、つまり183万点です。経験上2048を1つ作った時点で2万点程度ですので、どれだけ理不尽な数かがわかると思います…。

4だけ出てくる場合

前節では183万点と計算しましたが、新規に生成される数値が4だけだった場合は、手詰まりの形は2だけの時の65536のさらに倍の数字131072まで生成可能です。

つまりNマスで手詰まりしたとき、それぞれのマスに存在する数は、
4, 8, 16, 32, ..., 2^(N + 1)
となります。

一般項をAnとおくと、
An = 2^(n + 1) (ただしn = 1, 2, ..., N)
です。

前節で求めた点数の総和の式に当てはめてN = 16を計算すると3670024点となります。うーん367万点ねー…普通にやっていたらまず無理ですね。

しかし2048では2だけでも4だけでもなく、両方とも新規生成されます。これは4だけが新規生成される場合と比較して、空いているマスさえあれば4を生成することができるため、最高得点はさらに上がある、ということです。

また今度にでも考えます…。

DynDNSのドメインが失効した

家に置いているサーバのドメイン（katsuster.dyndns.org）はDynDNSの無料DDNSを利用していたのですが、今年の5月でDynDNS無料サービスの提供が終了したとのことで、ドメインが失効してしまいました。

家のサーバにアクセスできないのは不便だな。でも、全く次を考えていなかった。どうしようかな…。

自宅サーバ復活

先日DynDNSのドメインが失効してしまい、外から自宅のサーバにアクセスする手立てがなくなってしまいました。

復活させようと思い、他のDDNSが可能なサービスを調べていたのですが、しっくりくるところがありません。もう有償しかないか？と思ってVALUE DOMAINを見ていたら、今使っているドメイン名（katsuster.net）でDDNSが使えることに気づきました。

なんということでしょう、VALUE DOMAINにはずっとお世話になっていたのに、今までずっと気づかなかったのです…。

これを使わない手はないのでwww2.katsuster.netというホスト名を自宅サーバ用に割り当てました。ホスト名を追加しただけなので、追加料金も要らないし、DDNS機能も便利でwgetなどでGETリクエスト送るだけでIPアドレスが更新できます。確認していませんがDiCEも使えるようです。

一時はどうなるかと思いましたが、あっさり復活できて良かった良かった。

Kindle Fire HD絶不調

目次: Kindle

最近、Kindle Fire HD 8.9で本を買おうとすると、尋常じゃなく遅くなってなかなか本が買えない上に、ホーム画面に戻るとき1分くらい固まったまま待たされて、非常につらい。

スリープからの復帰も数秒掛かるし、壁紙が出ず背景が真っ黒。

再起動したらさらにひどくなった。何が起きてんだ、これ…。

メモ: 技術系の話はFacebookから転記しておくことにした。

はじまりとおわり

国道には○○号線、と番号が振られていて、重なっている区間もあります。中には始点や終点が別の国道と重なっている場合もあります。

じゃあ、国道の始まりと終わりは誰が決めるのか？と疑問に思い調べてみると、道路法に基づいた「一般国道の路線を指定する政令」（昭和四十年三月二十九日政令第五十八号）という政令で決められているそうです。

道路法といい、政令といい、何の捻りもないストレートな名前です。わかりやすいのでありがたくもあり、あまりにあっさり見つかったのでやや物足りなくもあり。うーん…。

試しに一つ調べてみる

我が家からもっとも近い国道はR171です。試しにR171について調べてみましょう。

先の政令58号によれば、国道171号線の起点は京都市、終点は神戸市です。重要な経過地は、向日市、長岡京市、京都府乙訓郡大山崎町、高槻市、茨木市、箕面市、池田市、伊丹市、尼崎市、西宮市（河原町）、芦屋市（清水町）です。

あれ？これだけ？どうも政令58号では具体的な位置（交差点名、何号線に吸収される、など）は言及していないようです。

詳細な位置

道路整備促進期成同盟会全国協議会が発行していた「道路時刻表」によると、道路を走行した際の所要時間の概算値を見ることができます。

走行時間の付属情報として、始点、主な交差点（と交差する道）、終点も書いてあるため、どこで何の道が重なっているかがわかります。本来の用途と異なる使い方ですが、この際わかれば何でも良いのです。

が、しかし道路時刻表は2008年で絶版とのこと。うーん、最新の情報はどこにあるんですかねえ…。